上帝存在的存有論（ontological）論證

※警告！本文大量依賴語句邏輯和述詞邏輯概念，請小心服食！※
本文非常感謝Joe與阿捷協助我訂正原來版本的許多錯誤以及釐清許多論點及概念。特別感謝Joe還幫我一起讀了兩篇無聊的文章！

「上帝存在」一直是基督教神學的形上學的核心問題，神學家嘗試用許多方法來論證上帝存在，其中最有名的論證（之一）應該就是存有論論證（也有人翻譯成本體論論證）。論證的簡易版本可以整理如下：

1. 根據定義，上帝是最完美的。
2. 任何東西若是最完美的則它存在。
3. 上帝存在。(結論)

一直以來都有許多挑戰存有論論證的嘗試，但也有為數不少的嘗試其實不夠漂亮或不夠精準。阿捷在立場新聞哲學版上發表了一篇文章，就是在分析那些不夠漂亮的嘗試為什麼不好，並且自己為上帝存在的存有論論證提供一個更強壯的詮釋，最後再提出自己的反駁。我會在這篇文章裡稍微簡介一下該文為上帝存在的存有論論證進行的分析，並指出他最後提出的反駁有什麼可能的迴避方式，最後再提供一個新的說明來解釋為什麼那個迴避其實仍會失敗，並駁斥那個迴避方式的合理性。

阿捷對存有論論證的分析──

既然要挑毛病的對象是一個邏輯論證，我們就要先知道該怎麼挑邏輯論證的毛病。要挑一個邏輯論證的毛病就只有兩個方法：一、指出論證的推論形式無效（前提和結論的否定相容）；二、如果無法指出推論形式無效（可能是你看不出來，也可能是它有效），就可以指出前提為假，或前提不一致，以指出論證不健全。上述的論證基本上是標準的三段論推論形式，因此至少在形式上看起來是有效的。所以，大部分挑上述論證的毛病，都是針對前提本身。

在上述的論證裡，最常被挑毛病的前提多半是(2)，因為前提(1)已經開宗明義說了自己是「定義」，倘若質疑前提(1)，那就是直接質疑對方對「上帝」的定義，那基本上就只是在談論跟對方不一樣的東西。（除非你質疑對方定義的方式是認為：根據對方的定義，「上帝」會是一個內在矛盾或至少內在不一致的概念，那就另當別論） 至於前提(2)經常被挑的毛病，多半是由於「完美」這個概念本身太過含混不清，以致於究竟哪些性質是一個「完美事物」所必須擁有的性質難以回答。

不過，要解決這個批評並不是一件難事，只要我們能夠給「完美的性質」一個可重複操作的判斷機制，這個問題就能夠迎刃而解。阿捷的文章裡就提供了這樣一個判準：

思想實驗E2
設想一個完美的東西，在其他條件都是相同的情況下，擁有性質$X$是否比沒有擁有更好？如果答案是正面的，則最完美的東西擁有性質$X$。如果答案是否定的，則最完美的東西不必擁有性質$X$。

思想實驗E2除了立即讓「完美性質難以判斷」的問題得到美好的解決之外，同時也可以解決其它質疑。例如，有些人認為「存在」不見得是完美的性質，因為許多邪惡的事物不存在比存在更好；然而在給定思想實驗E2做為判斷完美性質的判準時，那些邪惡的屬性都會事先被排除掉，因此在僅僅比較「良善的事物」存在還是不存在更好時，「存在」這個屬性就會被思想實驗E2保存下來。

不過阿捷仍在他的文章第(4)節中提到一個無法以思想實驗E2來處理的質疑。這個質疑是這樣的：有些人認為「存在」不算是一種性質，因此前提(2)不會為真（畢竟，如果它不是一種性質，它就不會被其它性質給蘊涵），因此論證不健全。阿捷對這個質疑的抱怨是，「『存在』不是一種性質」這個宣稱其實有點模糊，並且支持該宣稱的理由也過於薄弱。

基於上述的各種對存有論論證的質疑都有各自的問題，因此阿捷自己提了一個獨立的反駁。阿捷的反駁是這樣的：

……當我們[在前提(1)]說「上帝是最完美的東西」，我們可以如何理解這句話？

對此有可能兩種解讀：

1. 存在一個東西$x$，$x$ 是上帝，而且$x$ 是最完美的。
2. 當（且僅當）某個東西是上帝，則那個東西是最完美的。

讓我們先考慮「上帝是最完美的東西」是B的意思，本體論論證會變成如下：

(1*). 當（且僅當）某個東西是上帝，則那個東西是最完美的。
(2). 最完美的東西擁有最完美的性質。
(3). 「存在」是最完美的性質之一。
所以，(4*).當某個東西是上帝，則那個東西是存在的。

(4*)並沒有宣稱上帝是存在，而只是在說：如果某個東西是上帝，則這個東西存在。

……

而如果「上帝是最完美的東西」是A的意思呢？那麼前提(1)會變成結論本身（存在一個東西是上帝），但這便會變成丐題（begging the question），因為前提(1)早已承諾了上帝存在。我們不能用有待證明的結論放在前提去證明結論本身。

要理解這個反駁以前，必須先知道阿捷的這個反駁一開始提出來的(A)和(B)有什麼差別？為什麼只有(A)和(B)這兩個選擇？為什麼真的沒有第三種？但要回答這些問題，就必須先對一階述詞邏輯有初步的瞭解。

一階述詞邏輯的基礎語意觀
（熟悉一階述詞邏輯語意的讀者可以直接跳到下一節）

述詞邏輯的特徵是，它能夠直接呈現一個簡單語句的「主─述」詞的邏輯結構，使我們原本無法在語句邏輯中處理的邏輯論證變得可以處理。舉例來說，考慮以下論證：

1. 若所有人都會死，則蘇格拉底會死。
2. 所有人都會死。
3. 蘇格拉底會死。

若用語句邏輯來形式化以上論證，會得到一個有效論證：

1. $P→Q$
2. $P$
3. $Q$from 4,5, using MP.

但如果看另一個有效論證：

1. 所有人都會死。
2. 蘇格拉底是人。
3. 蘇格拉底會死。

透過語句邏輯形式化以後卻會變成一個無效論證：

1. $P$
2. $S$
3. $Q$from 7,8, but using what rule?

會有這樣的結果正是因為語句邏輯無法處理簡單語句內部的邏輯結構，因此「所有人都會死」這個語句中的「任何東西，若它是人，則它會死」這樣的結構就無法被表達出來，因此就無法利用MP（肯定條件句的前件，就能肯定條件句的後件）規則從「蘇格拉底是人」推出「蘇格拉底會死」。然而一但我們掌握了能夠呈現簡單語句內主述詞結構的邏輯工具之後，這個論證的有效形式就很容易被呈現：

1. $∀x(Hx→Mx)$
2. $Hs$
3. $Ms$from 7,8, using MP.

上面這個論證中有些符號必須說明一下。上開論證是用一階述詞邏輯的語言來呈現的，而一階述詞邏輯中所有的大、小寫英文字母都是「非邏輯符號」（相對於「邏輯符號」，例如所有的邏輯連詞：「且（$∧$）」、「或（$∨$）」、「非（$¬$）」、「若…則…（$→$）」、「…當且僅當…（$≡$）」），而且各自有各自的意義（有關一階述詞邏輯的符號與語法規則之細節，請參考啊啊哲學中述詞邏輯的語法一文，本文只會對這些概念做粗淺的介紹），分別闡釋如下：

「非邏輯符號」中的大寫英文字母都是用來表示一個「述詞」（也就是性質，像是「是人類」 (論證中的「$H$」)、「會死」（論證中的「$M$」）……等）；而所有的小寫英文字母都是用來表示一個「個體」，不過在小寫英文字母裡面仍然區分了一些用來表達「不特定個體」的英文字母（如論證中用到的「$x$」），這些稱為「變元」；以及另一些用來表達「特定個體」的英文字母（如論證中的「$s$」），這些稱為「常元」。而當我們將一個大寫英文字母和小寫英文字母連在一起寫時（如論證中的「$Hs$」），意思就是「那個小寫英文字母代表的特定個體擁有那個大寫英文字母代表的性質」（因此，論證中的「$Hs$」的意思就是「蘇格拉底（『$s$』）是人（『$H$』）」）。

現在唯一剩下來還沒解釋的符號就只有「$∀$」了，「$∀$」在一階述詞邏輯的語言裡是一個「量詞」，顧名思義就是用來表達「數量」的詞，而「$∀$」代表的數量就是「全部」。之所以需要「量詞」，是因為語言中有一些小寫英文字母代表的是不特定個體。如果一個句子 裡如果包含了一些代表不特定個體的小寫英文字母，並且沒有用量詞約束或限制這些不特定個體時，其意義將會難以理解。

舉例來說，在語句(2)裡的「$Hs$」，理解它的方式就是（之前提過的）「『$s$』代表的那個特定個體擁有『$H$』代表的那個性質」，由於「$s$」代表「蘇格拉底」這個特定個體，而「$H$」代表「是人」這個性質，因此「$Hs$」就是「蘇格拉底是人」的意思。但是當我們要理解的句子中含有代表不特定個體的小寫英文字母時，事情就變得困難了，考慮沒有量詞的句子(7')：

7'.$Hx→Mx$

要如何理解這個句子？用先前的方式，我們會得到「只要『$x$』代表的不特定個體擁有『$H$』代表的性質，那『$x$』代表的不特定個體就會擁有『$M$』代表的性質」。由於我們知道「$H$」代表「是人」這個性質，而「$M$」代表「會死」這個性質，所以(7')的意思就是「只要不特定個體是人，則不特定個體會死」。可是這句話是什麼意思？那個「不特定個體」到底是什麼？意思是無論那個不特定個體抓到什麼東西，那句話都是真的嗎？還是說只有某些特定的東西被抓到時，那句話才是真的？

在「不特定個體」到底指到什麼東西還是未知的情況下，我們根本無法理解那句話在說什麼。因此，我們需要「量詞」對「不特定個體」的約束。考慮原本的語句(7)：

7.$∀x(Hx→Mx)$

由於加上了「$∀x$」這個全稱量詞（意思是，對所有不特定個體$x$ 而言），使得語句裡的「不特定個體」的意義受到了限制，而全稱量詞給「$x$」所代表的不特定個體下的約束就是：「所有的不特定個體$x$ 都如後所述……」。因此，整句的翻譯就會變成：「對所有的不特定個體$x$ 而言，只要$x$ 是人，$x$ 就會死」。於是語句的意義就變得明確了，你不需要考慮是不是每一個東西都符合那個描述，還是只有某些東西才符合那個描述，在全稱量詞的約束之下，就能確定是「所有東西」都符合那個描述。

除了「全稱量詞（$∀$）」之外，一階述詞邏輯的語言裡還可以再添加一個「存在量詞（$∃$）」，兩者可以相互定義。定義的方式是：

$∀xφ≡¬∃x¬φ$（$φ$ 是一階述詞邏輯中的任意句子）

回到語句(7)：「所有人都會死」，我們寫作「$∀x(Hx→Mx)$」，但根據上述定義，我們也可以寫成「$¬∃x¬(Hx→Mx)$」，並且因為$¬(Hx→Mx)≡(Hx∧¬Mx)$，所以也可以寫成「$¬∃x(Hx∧¬Mx)$」，也就是「沒有人不會死」。同時，根據相同的原則，如果我們要否定「所有人都會死」，我們其實就是要否定「沒有人不會死」，意思就是，當我們主張「並非所有人都會死」時，我們就是在說「有些人（至少一個）不會死」。

這裡有一件值得注意的事情，當我們因為否定「所有人都會死」而主張「有些人（至少一個）不會死」時，我們已經預設了「至少有一個東西是人」，也就是，我們已經預設了「人存在」這件事。但是在我們宣稱「所有人都會死」時，卻沒有相同的存在預設。這個差異背後的道理是這樣的：

當我們宣稱「所有人都會死」時，我們實際上說的是「無論什麼東西，只要它是人，它就會死」。在這個宣稱裡，有沒有任何東西是人，對於這個宣稱是否為真是不重要的，即使根本沒有任何「人」存在，只要「一但有東西是人，那個東西會死」成立，那「所有人都會死」就能夠成立。這就是為什麼明明這世界上沒有獨角獸，我們也能說「獨角獸的前額都有一隻角」。

但要宣稱「有些人不會死」（也就是「並非所有人都會死」）時，情況則完全不一樣。如果不能確定「有人存在」的話，就根本不可能說「有些人不會死」。畢竟，如果沒有任何人存在，我們到底在說哪些人不會死？這也是為什麼我們不能宣稱「有些獨角獸額前沒有獨角」，除非我們準備承認（至少在某個意義下）真的存在一隻額前沒有獨角的獨角獸。

回顧阿捷對存有論論證的批評

目前為止，我們已經擁有足夠的工具來理解阿捷對上帝存在論證的批評了。阿捷的批評的起點是將論證的前提(1)區分成以下兩種說法（我稍微改寫了一下，以符合我們前面對一階述詞邏輯的介紹）：

1. 至少有一個東西$x$，$x$ 是上帝，而且$x$ 是最完美的。
2. 對任何東西$x$ 而言，只要$x$ 是上帝，則$x$ 是最完美的。

在經歷了冗長但仍然粗淺的一階述詞邏輯簡介以後，我們至少知道為什麼阿捷對這個論證的前提(1)：「上帝是最完美的」，只提供了上述這兩種理解，因為在一階述詞邏輯的語意結構下，我們就只有兩個量詞可以用。 以下，我們便來分別檢視這兩種對前提(1)的詮釋能不能得到原論證想要的結論──「上帝存在」：

以(A)詮釋前提(1)

根據一階述詞邏輯的語言中「存在量詞（$∃$）」的定義，(A)語句已經預設了「是上帝，而且是最完美的$x$ 『存在』」，因此整個論證在前提(1)就已經結束了，前提(1)基本上就是結論本身。

也就是說，若以(A)來理解前提(1)的話，這根本不是論證，而是直接「宣稱」上帝的存在。因此阿捷抱怨這犯了丐題的謬誤。

以(B)詮釋前提(1)

如果要避免丐題的問題，在詮釋前提(1)時就必須避開「存在量詞」的使用。也就是(B)的詮釋。但在(B)的詮釋底下，我們將不能有效地推論出「上帝存在」的結論，因為在詮釋(B)之下，「上帝不存在」這個結論和另外兩個論證前提是相容的（可以同時為真）。

在詮釋(B)之下，前提(1)是「對任何東西$x$ 而言，只要$x$ 是上帝，則$x$ 是完美的」，這是一個全稱語句。全稱語句為真的條件在上一節中已經分析過了，無論有或沒有任何東西是上帝，都不影響全稱語句是真或是假。因此即使「上帝不存在」為真，詮釋(B)底下的前提(1)依然可以為真。至於前提(2)，它甚至與上帝無關，因此在「上帝不存在」為真時，前提(2)自然也可以為真。

也就是說，「上帝不存在」（也就是存有論論證的結論之否定）和論證的所有前提都是相容的，因此根據有效論證的定義（前提與結論的否定不相容），若以(B)來詮釋存有論論證的前提(1)，則該論證的是一個無效論證。

為什麼兩難成立

讀者到此應該不難發現，阿捷對存有論論證提出的兩難式批評其實依賴在一階述詞邏輯的語意觀之上。由於一階述詞的語意觀將「存在」視為一種「量詞」，因此在一階述詞邏輯中，「存在」就不會是一種「性質（述詞）」。

比如說，在阿捷的兩難式分析裡，詮釋(A)中即使沒有包含「存在」這個述詞也能夠蘊涵「上帝存在」；而在詮釋(B)底下，即使得到一個包含了「存在」這個述詞的全稱語句，但全然因為量詞本身的緣故，使得這樣一個語句也無法蘊涵「上帝存在」。也就是說，在阿捷構做的兩難式批評裡，「存在」並不是由「述詞」來蘊涵的，而是由「量詞」來蘊涵的。

因此，阿捷對上帝存在的存有論論證的兩難式批評，與其說是「不預設『存在』不是一種性質（述詞）」，不如說是用一階述詞邏輯的語意觀恰當地說明了為什麼「存在」不算是一種性質（述詞）。理由很簡單：因為在一階述詞邏輯的語意觀底下，「存在」述詞沒有任何意義。

一階述詞邏輯的進階語意概念
（熟悉一階述詞邏輯語意的讀者可以直接跳到下一節）

眼尖的讀者此時可能已經注意到我在這篇文章裡已經提了兩次「存在的意義」。第一次是在談到「我們不能說『有的獨角獸額前沒有獨角』，除非我們願意承認『至少在某個意義下』有獨角獸存在」；另一次就是上一節的最後一句：「『存在』述詞沒有任何意義」。但那是什麼意思？「存在」這個述詞為什麼可以沒有意義，或者有許多意義？一個一階述詞邏輯裡的述詞要怎樣才算有意義？

要回答這兩個問題必須依賴更多關於一階述詞邏輯的語意觀。我們一般在日常語言裡面理解一個「語詞」的方式通常依賴對該語詞的「內涵」的掌握。什麼叫內涵？例如「光棍」這個語詞的意義，就是「單身的男人」。我們事實上是用一些「語詞（或概念）」來捕捉另一些「語詞（或概念）」的意義。

但這種定義無論做多少次總會停留在另一些需要被解釋的語詞（例如「單身」和「男人」）上，因此有無限後退的危險。要解決這個無限後退的危險，一般有兩個策略：第一種策略是，就讓內涵語意的解釋彼此循環。但這麼做的缺點就是讓語意的「內涵」流於空洞，因為始終都只有語詞之間在相互定義。

因此，如果不要這些語詞循環解釋彼此，就必須讓某些較基本語詞就可以透過實指的方式來定義。例如「男人」就被定義為那些男人們，「單身」的意義就是那些單身的人們（或是有伴侶這種關係形式的單身生物們）。而後面這種給語詞意義的方式則被稱做「外延」式的意義。

剛剛談的都是日常語言使用與理解的情況，現在回到一階述詞邏輯。在一階述詞邏輯裡，只有「外延」式的語意，沒有「內涵」式的語意。因此，所有一階述詞邏輯的非邏輯符號的語意都是由它的外延來決定的。唯一的問題是，日常語言的語詞可以由它指到的東西們來構成語詞的外延，但一階述詞邏輯的語言裡使用的符號呢？

要談一階述詞邏輯的語言中使用的符號的外延，就必須使用結構（Structure）或模型（Model） 來談。

一階述詞邏輯的語意結構

為了要給一階述詞邏輯的語句意義，就一定要先給一個結構，通常一個結構會用一個英文字母來代表（隨便你選，但最常用的是$\sc M$）。每一個結構（例如$\sc M$）都必須是由一個論域（Domain）和一個詮釋函數（Interpretation Function）構成，通常寫作$⟨D, I⟩$。因此，一個結構$\sc M$的完整寫法就會如下所示：

$\sc M$：$⟨D, I⟩$

論域$D$是一個集合，這個集合裡面全部都是「東西」（object），這些東西就是待會兒我們要用外延式的語意來解釋那些非邏輯符號時，會出現在那些非邏輯符號的「外延」內的東西。我們通常會寫成$D^\sc M$來表達我們正在談的是結構$\sc M$的論域$D$。

一階述詞邏輯的非邏輯符號包括了「述詞」、「常元」和「變元」（若有看啊啊哲學的文章，你會發現其實還有「函數」是我沒提到的），這些符號的語意在前面都用寬鬆的方式解釋過了，但現在開始，我要介紹它們比較嚴格的定義。

常元：

常元如「$a_1$, $a_2$, ..., $b_1$, $b_2$, ..., $c_1$, $c_2$, ...」等，在之前的說明裡只說它們每一個都指到一個「特定個體」，但現在我們必須加上一個限制，就是它指到的特定個體都必須都是在論域中的東西。每一個常元都必須指到一個論域裡的東西，而且每一個常元都只能指到一個論域裡的東西。

例如，給定一個結構$\sc M$：$⟨D, I⟩$，$D^\sc M=`{α,β,γ,δ`}$（意思是，在結構$\sc M$中的論域$D^\sc M$裡共有$α$、$β$、$γ$、$δ$ 四個東西），假定我們使用的常元「$c$」指到的是論域裡的「$γ$」，那我們會寫作：

$I^\sc M(c)=γ∈D^\sc M$

意思就是：結構$\sc M$的詮釋函數$I^\sc M$給常元$c$ 的語意，是論域$D^\sc M$裡的東西$γ$。

述詞：

述詞如「$P$, $Q$, $R$, $B$, $S$, ...」等，在之前的說明裡只有提到每一個述詞都代表一個「性質」，並且透過用自然語言中的性質語詞來舉例幫助理解，卻沒有給任何定義。但有了結構之後，我們就可以定義述詞語意為「述詞的外延集合」。

所謂「述詞的外延集合」指的就是論域中所有適用該述詞的東西所形成的集合。舉例來說，述詞「$P$」的語意就是，論域中所有代入「$Px$」的$x$ 以後會使「$Px$」為真的那些東西形成的集合。

讓我們沿用在常元裡設定的結構$\sc M$，假定論域中代入$Px$ 會使$Px$ 為真的東西就是$β$ 和$γ$，那述詞$P$ 的語意便是$`{β,γ`}$。我們寫作：

$I^\sc M(P)=`{β,γ`}⊆D^\sc M$

意思是，結構$\sc M$的詮釋函數$I^\sc M$給述詞$P$ 的語意，是論域$D^\sc M$裡的東西$β$ 和$γ$ 形成的集合$`{β,γ`}$。

到目前為止我們介紹過的述詞都是一元的述詞，意思是，述詞符號後面只能放一個「元」（常元或變元），但述詞可以有任何元數，例如「$x$ 愛$y$」就會是一個二元述詞，因此我們會寫「$Lxy$」；「$x$ 在$y$ 和$z$ 中間」就是一個三元述詞，我們會寫「$Mxyz$」……。

因此，給定任何自然數$n$，一個$n$ 元述詞的語意都是由論域中代入該述詞形成的簡單句子後能使該句子為真的東西形成的「$n$ 元序」（$n$-tuple）構成的集合，而那個由$n$ 元序形成的集合就會是該$n$ 元述詞的外延集合。我們通常將一個$n$ 元序寫成：$⟨o_1,` o_2,` o_3,` ...,` o_n⟩$。

例如「$Lxy$」這個句子，假定在結構$\sc M$的論域$D^\sc M$中，把$α$ 代入$x$ 、把$β$ 代入$y$ 會使$Lxy$ 為真，把$β$ 代入$x$ 、把$γ$ 代入$y$ 也會使$Lxy$ 為真，其餘組合都不行。那麼（二元）述詞「$L$」的外延集合就會是$`{⟨α,β⟩,` ⟨β,γ⟩`}$，我們寫作：

$I^\sc M(L)=`{⟨α,β⟩,` ⟨β,γ⟩`}⊆D^\sc M×D^\sc M$

寫在最後的「$D^\sc M×D^\sc M$」的意思是，將集合$D^\sc M$（還記得論域都是集合吧！）裡的每一個東西都和集合$D^\sc M$裡的每一個東西做配對排序後形成的二元序蒐集起來而形成的新集合。由於集合$D^\sc M$裡面有四個東西，所以$D^\sc M×D^\sc M$裡就會有十六個二元序。

要注意的是，一個$n$ 元序是一個「序」，意思就是，如果更動一個$n$ 元序裡的東西的排列順序，就會變成另一個不同的$n$ 元序。因此，雖然二元序$⟨α,β⟩$和二元序$⟨β,α⟩$裡的東西相同，但因為排列順序不同，所以$⟨α,β⟩$和$⟨β,α⟩$是兩個不同的二元序。

變元：

嚴格來說變元在結構中是沒有語意的，一個語句只有在它的每一個變元都有被一個量詞約束住時，才能由結構來詮釋其語意。由於一階述詞邏輯中的量詞只有兩個，而且可以相互定義，所以只要能夠解釋其中一個量詞的語意，我們就能解釋所有包含變元及約束變元之量詞的語句的語意。

由於存在量詞「$∃$」是我在這篇文章裡主要處理的量詞，因此我就從定義存在量詞「$∃$」開始說明。舉例來說，對以下存在語句：

$∃x(Px)$

其語意是：在結構$\sc M$的論域$D^\sc M$中，至少存在一個東西，那個東西在述詞$P$ 的外延集合內。

仍沿用我們已經設定好的結構$\sc M$，前一段中已經設定了$I^\sc M(P)=`{β,γ`}$，意思是述詞$P$ 的外延集合是$`{β,γ`}$。由於$β$ 和$γ$ 都是論域$D^\sc M$裡的東西，論域$D^\sc M$裡當然至少存在一個東西是在述詞$P$ 的外延集合裡。因此語句$∃x(Px)$在結構$\sc M$底下為真。

全稱語句和存在語句相互定義的方式是：$∀x(Px)≡¬∃x(¬Px)$。根據這個定義方式，語句$∀x(Px)$的語意就是：在給定的結構$\sc M$底下，論域$D^\sc M$裡連一個不在述詞$P$ 的外延集合內的東西都不存在（也就是，論域$D^\sc M$裡的所有東西都在述詞$P$ 的外延集合內）。

進一步分析並回應阿捷的兩難式攻擊

給定了上述用來定義一階述詞邏輯的各個符號之語意的方法後，我們可以利用一階述詞邏輯的語意觀來進一步分析阿捷對上帝存在之存有論論證提出的兩難式攻擊，同時考慮一些可能的回應方式。

在前面對阿捷的兩難式攻擊的初步分析中，我們知道阿捷對上帝存在之存有論論證的攻擊其實依賴在該論證的前提(1)的詮釋只有「『有存在量詞』和『沒有存在量詞』兩種版本」這個事實之上。由於「有存在量詞」的詮釋版本會在前提預設「上帝存在」，因此丐題；而「沒有存在量詞」的詮釋版本則無法有效地導出「上帝存在」的結論。這樣的分析基本上完全依賴在一階述詞邏輯的語意規定之上。

首先，根據上一節介紹的一階述詞邏輯的語意觀，在一階述詞邏輯中，所謂「存在」，其實就是「存在在（某個給定的結構的）論域之中」。同時，所有述詞和常元的語意也都是從（那個結定的結構的）「論域」來給。因此不難理解為什麼在一階邏輯裡將「存在」視為一個述詞並宣稱「上帝存在」，其實沒有使那個述詞有任何意義。

因為我們如果要能夠有意義地用一階述詞邏輯的語言來宣稱「上帝存在」，我們就必須要談到一個「在（某個給定的結構的）論域裡」的東西，然後宣稱這個東西「是上帝」而且「存在」。但我們也知道，在一階述詞邏輯中，所謂「存在」就是「存在在（某個給定的結構的）論域之中」。因此，既然我們談到的那個「是上帝」的東西已經存在在（給定的結構的）論域之中了，「存在」這個述詞就無法為我們談到的那個（存在在論域之中的）上帝再增添任何語意元素。

由於「存在」作為述詞，在一階述詞邏輯中不具有意義，因此存有論論證的前提究竟是否預設了上帝存在，就只能看我們選擇的量詞。如果選了存在量詞就會丐題，如果為了避免丐題而選全稱量詞，那就推不出上帝存在。這就是阿捷的兩難式攻擊與一階述詞邏輯的語意之間的關聯。同時也是為什麼我認為他的兩難式攻擊並非不預設『存在』不是述詞，而是恰當地使用一階述詞邏輯的語意觀來說明為什麼「存在」不是述詞。

迴避阿捷的兩難式攻擊

在阿捷的兩難式攻擊中，一難是論證無效，另一難則是論證丐題。基本上論證形式無效就是沒得救了，因此若要尋求突破，最好從丐題著手。

存有論論證在阿捷的兩難式攻擊下之所以有一難是丐題，是因為「存在一個最完美的上帝」已經預設了上帝存在。但所謂上帝存在，其實只是（像之前一直強調的）「存在在（某個給定的結構的）論域中」。但為什麼「存在在論域中」就是我們平常說的存在呢？

所謂一個東西「存在在論域中」，只不過是讓我們的語言可以談到「一個東西」罷了，哪怕那個東西是虛構的、被思想或幻想創造的。例如：既然我可以談到演過電影Snatch的演員Brad Pitt，那Brad Pitt這個真實存在的人當然就是「我可以談到的東西」之一；同時，既然我可以談到Brad Pitt在電影Snatch裡演的角色Mickey O'Neil，那Mickey O'Neil這個虛構的人物當然也會是那些「我可以談到的東西」之一。

既然兩者（Brad Pitt和Mickey O'Neil）都是「我可以談到的東西」，但一個「真實存在」而另一個「不真實存在」，我自然可以把「所有我可以談到的東西」都規定為「在論域中」，並將論域中的（也就是我可以談到的）東西都區分「真實存在」和「不真實存在」。藉由這個區分，我就可以界定出一個有別於「存在在論域中」的「存在」述詞，並使這個「存在」述詞有意義！

這基本上就是Oppenheimer, P. E. & Zalta, E. N.（1991）的想法，他們在一階述詞邏輯中新增了一個述詞「$E!$」來代表那個有別於「存在在論域中」的「真實存在」的概念。加入這個述詞之後，我們就可以透過「$∃x(¬E!x)$」來宣稱「論域中至少有一個東西不真實存在」，因而可以避免「存在量詞」蘊涵「真實存在」。於是，整個論證可以在這個對一階述詞邏輯的新的詮釋底下被重新建構如下：

1. $∃x(Gx∧Px)$
2. $∀x(Px→E!x)$
3. $∃x(Gx∧E!x)$

這個重建的論證的前提(1)說的是：我談到了一個東西它是上帝，而且它是最完美的東西。這個前提雖然使用了存在量詞，但給定「有的（論域中的）東西並不真實存在」，因此它不會蘊涵「上帝真實存在」，也就不會在前提中預設結論，因此不會丐題。而前提(2)是一個全稱語句，因此更不會有預設上帝存在的嫌疑。最後，由前提(1)搭配前提(2)，再使用恰當的推論規則，就能有效地推論出結論：「我談到了一個東西它是上帝，而且它真實存在」！

於是兩難式的攻擊看起來就這樣被輕易地突破了。

在新的語意觀下重建一個新的兩難式

既然都提到Oppenheimer & Zalta（1991）的「存在在論域中」和「真實存在」這個區分，那就不得不提一提Zalta, E. N.（2006）（此連結之論文原刊於Mind期刊）提出的另一個區分，就是對「一個東西擁有一個性質」的「方式」所做的區分。

一個東西如何擁有一個性質

我眼前擺著一朵紅色的花，這朵花擁有一個顏色的性質：「紅色」。為什麼那朵花擁有「紅色」的性質？因為這朵真實存在的花「展現」了（exemplify）「紅色」這個顏色性質。或者我們會說，因為這朵真實存在的花，是「紅色」這個性質的一個「實例」，因此這朵花「例示」（instantiate）了「紅色」這個性質。

Zalta認為這就是我們一般在一階述詞邏輯中寫出「$Ra$」這樣的語句時表達的意思：常元$a$所指到的論域中的那個東西，展現或例示了述詞$R$ 所代表的性質。

但除了上面描述的這種擁有性質的方式以外，Zalta認為一個東西還可以透過另一種方式來擁有性質。例如，現在我的眼前沒有任何花朵，但是我可以「設想」出一朵紅色的花。這朵紅色的花一樣會擁有「紅色」這個性質，我們一樣會宣稱「我設想到的那朵花是紅色的」，但這個宣稱絕對沒有那朵花「展現」或「例示」任何顏色的意思，因為那朵花並不真實存在，它只是一朵被我設想出來的紅花。

在這種情況裡，我所設想到的那個不真實存在的東西純粹是被我賦與它的那些性質所決定出來的，我把「花」、「紅色」、「有莖」、「有葉」……等等性質湊和在一起，決定出了一朵（我設想出來的）「紅花」。像這種性質與東西間的關係（透過一組性質來決定一個東西），Zalta認為是那個東西「編入」（encode）了那組性質。

為了在一階述詞邏輯中區分「一個東西展現或例示一個性質」與「一個東西編入一個性質（那個性質決定了那個東西）」，Zalta將後面這種擁有性質的方式寫成「$aR$」，使它有別於前者的「$Ra$」。「$aR$」的意思是：常元$a$在論域中指到的那個東西編入了述詞$R$所代表的性質。

當然，一個被設想的東西可以是真實存在的，也可以是非真實存在的。例如，我可以設想Brad Pitt這個真實存在的人，而設想的方式就是用Brat Pitt這個真實存在的人所展現出來的性質，在我的設想中決定出那個被我設想的Brad Pitt。因此，原本在我眼前的那朵紅花如果被拿走了，我依然可以透過那朵花展現或例示的性質來設想那朵花。

因此，即使我設想出來的花之所以擁有「紅色」性質是因為我將「紅色」編入了那朵花，但仍不妨礙那朵被我設想的花（因為真實存在而）確實展現或例示「紅色」的性質。換言之，當我因為「設想」那朵真實存在的紅花而宣稱「$aR$」為真，仍不妨礙我同時因為自己設想的是那朵「真實存在」的花而宣稱「$Ra$」為真。

但如果當我僅僅只是在設想一朵紅花，而沒有設想一朵真實存在的紅花（或像是當我設想的是Mickey O'Neil而不是Brad Pitt，而且世界上並沒有Mickey O'Neil這個真實存在的人），那麼我只能宣稱「$aR$」為真，而不能宣稱「$Ra$」為真，因為僅僅只是被設想，不足以保證被設想到的那朵花真實存在。

前面的描述可能會讓人產生一個誤會：如果一個被設想或被談論的東西無法確定是真實存在的，那這個東西就不會「展現」或「例示」任何性質，但不是如此。例如那朵僅僅只是被設想的紅花（或是Mickey O'Neil這個虛構的人），它仍然「展現」或「例示」了像是「被設想的」（或者，在Mickey O'Neil的情況裡，他還「展現」了「虛構的」、「不真實存在（$¬E!$）」）之類的性質。

那麼，究竟要如何決定一個僅僅只是被設想的東西可以展現或例示哪些性質？又不能展現或例示哪些性質？就必須根據性質的特徵來區分。Zalta將所有的「述詞」（及其代表的性質）區分成兩大類，「有存在蘊涵」的述詞、和「無存在蘊涵」的述詞。所有「有存在蘊涵」的述詞代表的性質都有以下特徵：一但有一個東西展示了那個性質，那個東西就也會展示「真實存在」這個性質。而沒有上述特徵的性質，便都是「無存在蘊涵」的述詞所代表的性質。

如果我們暫時借用一下二階述詞邏輯的符號（就是增加「述詞變元」，並讓量詞能夠約束「述詞變元」，並增加一些關於述詞的「述詞」，也就是二階述詞），則「有存在蘊涵」的述詞的形式化定義如下（在以下定義中，我將「$F$」當成一個述詞變元，並使用一個二階述詞「$E!E$」來代表「有存在蘊涵」這個性質）：

$∀F(E!E(F)≡∀x(Fx→E!x))$

意思是：任何述詞是「有存在蘊涵」的述詞，當且僅當，對所有論域中的東西$x$ 而言，如果$x$ 展現或例示了該性質，則$x$ 展現或例示「真實存在」這個性質。

根據這個定義，由於任何「有存在蘊涵」的述詞所代表的性質一但被某個東西展現，那就會蘊涵那個東西也「展現」了「真實存在」的性質。也就是說，任何宣稱「某個（論域中的）東西展現了一個有存在蘊涵的述詞所代表的性質」的語句，都同時是在宣稱「那個東西展現了『真實存在』」的性質」，也就是宣稱「那個東西『真實存在』」。但宣稱某個東西展現了一個「無存在蘊涵」的述詞所代表的性質則不會有這個後果。

存有論論證再詮釋

給定上述新的語意元素，我們可以重構阿捷給的兩難式，只是現在的分析會變得更複雜一些。首先，當然還是從前提(1)的分析開始，納入新的語意元素之後，前提(1)可以被分析成以下四種可能：

1. $∃x(Gx∧Px)$
2. $∀x(Gx→Px)$
3. $∃x(Gx∧xP)$
4. $∀x(Gx→xP)$
5. $∃x(xG∧Px)$
6. $∀x(xG→Px)$
7. $∃x(xG∧xP)$
8. $∀x(xG→xP)$

(A)、(B)在阿捷的兩難式裡就已經出現過了，其餘的則是在新的語意觀底下新增的詮釋。在上一節的討論中，詮釋(A)是Oppenheimer & Zalta（1991）用來迴避兩難式的突破點，這是因為詮釋(B)的全稱量詞讓論證無效。因此詮釋(D)、(F)、(H)既然和詮釋(B)一樣使用全稱量詞，所以都不需要考慮。

那剩下來的工作，就是重新檢視前提(1)在詮釋(A)、(C)、(E)、(G)底下分別會有什麼後果。但在開始這個工作之前，我們必須先看看前提(2)在新的語意觀底下是否也有新的詮釋方式。在新的語意觀之下，前提(2)也有四種詮釋：

1. $∀x(Px→E!x)$
2. $∀x(Px→xE!)$
3. $∀x(xP→E!x)$
4. $∀x(xP→xE!)$

上列詮釋中，(b)和(d)的後件都是「$xE!$」，而存有論論證要的結論卻是「$E!x$」。基於「$xE!$」與「$¬E!x$」是相容的（因為$x$ 被設想為真實存在，並不保證$x$ 展示了「真實存在」之性質），因此詮釋(b)與(d)將不能和前提(1)有效地推論出結論，因此無需考慮，那就只剩詮釋(a)和(c)需要考慮。

先考慮詮釋(c)底下的前提(2)說了什麼？它說，對論域中的任何東西$x$，只要$x$ 編入了「最完美」這個性質，$x$ 就會展現「真實存在」這個性質。意思是，對任何論域裡的任何東西而言，只要我們把它設想成最完美的東西，這東西就會真實存在。

這個詮釋明顯是不合理的，在這個詮釋底下，前提(2)表達的全稱條件句的前件是在談一個東西「被設想為擁有某個性質」，但後件卻是在談那個東西「真實存在」。回顧我們在分析一個東西可以如何擁有一個性質時提到過的，當我們僅僅只是在設想一個東西如何時，這不能保證那個東西真實存在。因此，既然在詮釋(c)底下的前提(2)只是在談一個東西如何被設想，那就不足以蘊涵該條件句的後件，也就是那個被設想的東西真實存在。

綜合以上的討論，前提(2)的合理詮釋只剩下(a)這個選擇。因此，我們以下就會以在詮釋(a)的理解下的前提(2)進行討論。

重建兩難式！

由於我們最後是選擇用(a)來詮釋前提(2)，而(a)的前件是「$Px$」，因此，基於前提(1)的詮釋(C)和(G)都沒有「$Px$」而只有「$xP$」，就不能用MP規則得到前提(2)的後件「$E!x$」。如此一來，前提(1)就只剩下詮釋(A)和詮釋(E)需要考慮。詮釋(A)說的是：「論域裡至少有一個東西$x$，$x$ 展現或例示了『是上帝』這個性質，而且$x$ 展現或例示了『最完美』這個性質」，而詮釋(E)則宣稱：「論域裡至少有一個東西$x$，$x$ 被設想成是上帝，而且$x$ 展現或例示了『最完美』這個性質」。

由於(A)或(E)都宣稱有一個「是上帝」的$x$ 展現或例示了「最完美」的性質（$Px$），因此都可以和詮釋(a)底下的前提(2)用MP規則推論出結論「上帝存在」。但要注意的是，前提(1)究竟能不能合理地宣稱那個是上帝的$x$ 真的「展現」或「例示」了「最完美」這個性質？

首先，根據前提(2)唯一合理的詮釋(a)，前提(2)表達的是「$∀x(Px→E!x)$」，再根據前面提到的Df.2，我們會發現前提(2)其實是在宣告述詞「$P$」是一個「有存在蘊涵」的述詞。因此，根據前提(2)，當我們宣稱論域中的任何東西展現或例示了述詞「$P$」所代表的性質時，我們就同時宣稱了那個論域中的東西「真實存在」。

然而，回顧存有論論證最原始的版本，在該論證的前提(1)裡說的「上帝是最完美的」之所以為真，是根據「定義」，而「定義」所涉及的只是「概念」，或即我們對一個東西的「設想」。就如同我們將「獨角獸」定義成「額前有獨角的馬形獸」一樣，是關於我們如何透過設想某些性質的組合來決定出「獨角獸」這樣的「東西」，因此僅只涉及將某些性質「編入」某個被我們設想的東西，而不涉及那個東西展現或例示的任何性質。

也就是說，在只有我們對「上帝」的「定義」的條件下，不足以支持(A)或(E)詮釋底下的前提(1)為真，那自然也不足以保證結論為真，因此兩難依舊成立！論證的前提(1)在所有的詮釋底下，要嘛無法有效地推論出結論（除了(A)和(E)以外的詮釋），要嘛雖然可以有效地推論出結論，但卻不能保障結論為真，因為那樣詮釋下的前提(1)本身並不見得為真。也就是說，存有論論證要嘛是無效論證，要嘛是不健全論證。所以Oppenheimer & Zalta（1991）依然是失敗的。

結語──

或許會有讀者在讀了落落長的語意分析和語意建構之後，覺得這一切根本都只是文字遊戲，論戰中的一方在遇見困難時，就發明一些新的語意元素來解決困難，並把問題再拋回給論戰中的另一方；而論戰中的另一方在接到新問題之後就再發明一些新的語意元素來回應……，但其實根本沒有任何一方試圖真正解決問題。

我認為這種說法只對了一半。我同意，「上帝存在的存有論論證」確實只是在玩弄文字和語意，利用自然語言表達的模糊語意來蒙混偷渡一些有更深層形上學語意的主張。但反駁「上帝存在的存有論論證」的一方所做的，卻是透過直指對方如何玩弄文字和語意來攻破那些語言詐術。

上帝存在的存有論論證中最荒謬的一點是：這個論證企圖透過「語言」本身的特性（概念或語詞的定義），來推論出一些獨立於語言的事實（如上帝的存在）。但這個世界不會輕易地因為我們如何說話而就長得成某個樣子（即使是事實的建構論者也不會同意這麼廉價的建構）！

上帝存在的存有論論證只能告訴我們關於我們使用的語言究竟有哪些特徵。例如，在上一節中分析的，我們的語言談論到許多「性質」是預設了「存在」概念的性質，只有當我們將某個東西「設想為」或「宣稱為」存在時，我們才有可能想那個東西「設想為」或「宣稱為」擁有（展現、例示）那個性質。例如「紅色」、「方形」、「堅硬」、「易碎」……等，而上帝存在的存有論論證只是在這個清單裡多增加了一個：「最完美」。僅此而已。

這個論證並不能成功地證明上帝存在，是因為它只用了「語言的特徵」當前提，那就得不到關於語言以外的事實的結論。這個論證證明的不是最完美的上帝必須存在，這個論證只證明了：如果我們要把上帝設想成最完美的東西，那我們就必須把上帝設想為存在的東西。至於上帝存不存在？只有上帝知道。

註釋
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1. 有效論證的定義是：前提真則結論真，因此一個論證若有效，當前提全真時，結論就不可為假。由於結論為假的意思就是結論的否定為真，因此當一個論證有效時，意思就是當論證的前提全真時，結論的否定變不可為真。因此當一個論證有效時，論證的前提和結論的否定便不可同時為真，也就是不相容。[返回] [回復]
2. 此處所謂「針對前提」的意思是針對前提的「真假」。因此，雖然文章的後半部主要在討論的質疑都是針對論證的前提，卻仍主張論證「無效」而非「不健全」，不免會令讀者困惑。但那是因為後半部的「針對前提」，是針對「前提的詮釋」，而非針對「前提的真假」（意思是，在同意前提「為真」的條件下，以各種不同的方式來重新組織被假定為真的前提，看看有沒有任何一種合理的組織方式可以使論證有效或無效），因此不會與此處的說明衝突。[返回] [回復]
3. 因為在檢討一個語詞的定義是否有不一致或矛盾時，我們依然是在討論「那個定義」本身，所以不會有「改變定義」因而「改變討論的對象」的問題。[返回] [回復]
4. 本文大量使用「語句」和「句子」這兩個語詞，其實是要對應一階述詞邏輯中「語句（sentence）」以及「完構式（well-formed formula）」或「句式（formula）」之間的區分。但因為本文不打算介紹這個區分，所以就不使用它們原來的名稱。對這個區分有興趣的人可以參考啊啊哲學的述詞邏輯的語法一文。[返回] [回復]
5. 曾有人指出，雖然我們只有兩個量詞，但依然有第三種詮釋前提(1)的方式。先看阿捷的兩種詮釋：
   1. 至少有一個東西$x$，$x$ 是上帝，而且$x$ 是最完美的。
   2. 對任何東西$x$ 而言，只要$x$ 是上帝，則$x$ 是最完美的。
   除此之外，我們還可以考慮的第三種詮釋，是將「上帝」本身視為一個被「常元」指涉到的東西，例如用常元「$g$」來表示「上帝」：
   1. 上帝$g$ 是最完美的。
   本文不考慮詮釋(I)，是因為詮釋(I)可以推論出「至少有一個東西『是上帝』（$=g$），而且『是完美的』」，也就是詮釋(A)。因此詮釋(A)有的問題詮釋(I)都有，所以沒有討論的需要。[返回] [回復]
6. 阿捷在文章裡並沒有直接使用一階述詞邏輯的語意觀來建構這個兩難式，我在這裡僅僅只是根據阿捷的論述方式，判斷他的論述以一階述詞邏輯之語意觀來理解是最恰當的。理由如下：一、阿捷主張自己對存有論論證的批評是「兩難式」，任何兩難式的批評都必須滿足(i)被批評的對象只有兩條路可以走，而且(ii)無論走哪一條路都會讓被批評的對象不能接受。既然阿捷主張自己對存有論論證的批評是兩難式，為了滿足(i)，他就必須宣稱(A)和(B)窮盡了前提(1)的所有詮釋可能。而要讓(A)和(B)窮盡前提(1)所有詮釋可能的最佳方式，就是應用一階述詞邏輯的語意觀。[返回] [回復]
7. 在述詞邏輯的語意學中，模型和結構基本上是相同的東西，唯一的差別是，當一個結構使某一語句為真時，我們稱該結構為該語句的模型。[返回] [回復]
8. 詮釋(A)中提到的那個論域裡「是上帝」的東西，是論域中「展現」或「例示」了「是上帝」這個性質的東西；相對地，詮釋(E)中提到的那個論域裡「是上帝」的東西，卻只是論域中「被設想為」擁有「是上帝」這個性質的東西。[返回] [回復]
9. 因此，根據上一個註，從詮釋(A)可以推論出來的「上帝存在」，指的是「論域中那個展現或例示了『是上帝』這個性質的東西『真實存在』」，而從詮釋(E)可以推論出來的「上帝存在」，就只是指「論域中那個被設想為擁有『是上帝』這個性質的東西『真實存在』」。[返回] [回復]